1. Ile papieru zużyjemy na wykonanie czapeczki w kształcie stożka o wys 60cm i obwodzie podstawy 50 cm? Jaki kąt powinnien mieć wycinek koła potzrebny do sklejenia tej czapeczki.? 2. Trójkąt o bokach długości 2,3,4 obraca się wokół najdłuższego boku. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku tego obrotu.

Zacznę od drugiego zadania. Bryła, jaka powstanie z takiego obrotu to dwa stożki sklejone podstawami. Promień podstawy stożka (r) ma tą samą wartość co wysokość trójkąta (H), opadająca na najdłuższy bok (a=4). Zaczynamy od wyznaczenia tej wysokości. Ponieważ znamy wszystkie boki w trójkącie, skorzystamy ze wzoru Herona: P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, gdzie p=\frac{a+b+c}{2} Czyli w naszym przypadku: p=\frac{2+3+4}{2}=\frac{9}{2} P=\sqrt{\frac{9}{2}*(\frac{9}{2}-2)*(\frac{9}{2}-3)*(\frac{9}{2}-4)}=\sqrt{\frac{9}{2}*\frac{5}{2}*\frac{3}{2}*\frac{1}{2}}=\sqrt{135 \over 16}=\frac{\sqrt{135}}{4} Porównując wynik ze standardowym wzorem na pole trójkąta P=\frac{1}{2}ah otrzymujemy: \frac{1}{2}*4*H=\frac{\sqrt{135}}{4} stąd H=\frac{\sqrt{135}}{8} Jak pisałam wcześniej, to H jest również równe r (promieniowi podstawy stożka), więc r=\frac{\sqrt{135}}{8} Do wyznaczenia objętości pojedynczego stożka potrzebna nam jest jego wysokość, którą możemy obliczyć np. z twierdzenia Pitagorasa (przyjmując bok równy 2 za przeciwprostokątną tego trójkąta, a przyprostokątnymi są wysokość trójkąta oraz wysokość pierwszego stożka h_1. h^{2}_1+H^2=2^2 h^{2}_1=2^2-(\frac{\sqrt{135}}{8})^2 h_1=\sqrt{4-\frac{135}{64}}=\sqrt{\frac{121}{64}}=\frac{11}{8} Analogicznie h_2=\frac{21}{8} Obliczenie objętości brył: V_1=\frac{1}{3}P_p h_1=\frac{1}{3}\pi r^2 h_1=\frac{1}{3}\pi*\frac{135}{64}*\frac{11}{8}=\frac{495}{512}\pi V_2=\frac{1}{3}P_p h_2=\frac{1}{3}\pi r^2 h_2=\frac{1}{3}\pi*\frac{135}{64}*\frac{21}{8}=\frac{945}{512}\pi V=V_1+V_2=\frac{1440}{512}\pi=\frac{45}{16}\pi Jeśli natomiast chodzi o pierwsze zadanie, to wyszło mi, że niemożliwe jest stworzenie czapeczki o takich wymiarach (może np. obwód zamiast 50cm miał być równy 50\pi?). Prześledźmy rozwiązanie: Czapeczka jest stożkiem (oczywiście bez podstawy) o wysokości H=60cm, promieniowi podstawy r oraz tworzącej l. Obwód podstawy jest równy 50cm, a zatem 2\pi r=50 stąd r=\frac{25}{\pi} czyli ok.7,96cm tworzącą stożka możemy wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa: l=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{60^2+(\frac{25}{\pi})^2}\approx 60,53cm Tworząca stożka jest jednocześnie promieniem (R) wycinka koła, z którego została zrobiona czapeczka. l=R W związku z czym pole takiego koła (całego) byłoby równe: P_{kola}=\pi R^2=\pi l^2=\pi*60,53^2\approx 11508,68 cm^2 Natomiast pole boczne stożka P_b=\pi rl=\pi*\frac{25}{\pi}*60,53\approx 1513,14 cm^2 No i w tym miejscu powinniśmy podzielić pole boczne stożka przez pole koła, a następnie otrzymaną liczbę pomnożyć przez 360stopni. W ten sposób uzyskalibyśmy kąt wycinka. Oczywiście możemy to zrobić, jednak z uwagi na to, że P_b>P_{kola}, kąt także wyszedłby nam większy niż 360stopni, więc nie bardzo wyobrażam sobie, jak takie coś mogłoby istnieć ;)