Oblicz pole kwadratu ABCD, gdy obwód trójkąta ABC wynosi 6dm.

Obwód tego trójkąta to a + a + a\sqrt{2} = 2a + a\sqrt{2} 6dm = 60cm 60 = 2a + a\sqrt{2} a(2+\sqrt{2}) = 60 a = 30(2-\sqrt{2}) Pole kwadratu = a^2 = [30(2-\sqrt{2})]^2 = 900*(4-4\sqrt{2} + 2 = 900(6-4\sqrt{2})

Trójkąt ABC, będący połową kwadratu, jest trójkątem prostokątnym i równoramiennym. Ma przyprostokątne o długości a (będące jednocześnie bokami kwadratu) oraz przeciwprostokątną długości a\sqrt{2} (bo jest to jednocześnie przekątna kwadratu, ewentualnie zawsze można to obliczyć z twierdzenia Pitagorasa). A zatem: Obw_{\Delta}=6 dm Obw_{\Delta}=2a+a\sqrt{2} 2a+a\sqrt{2}=6 a*(2+\sqrt{2})=6 |:(2+\sqrt{2}) a=\frac{6}{2+\sqrt{2}} P_{kwadratu}=a^2=(\frac{6}{2+\sqrt{2}})^2=\frac{36}{4+4\sqrt{2}+2}=\frac{36}{6+4\sqrt{2}}=\frac{36}{2*(3+2\sqrt{2})}=\frac{18}{3+2\sqrt{2}}=\frac{18}{3+2\sqrt{2}}*\frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}=\frac{54-36\sqrt{2}}{9-4*2}=54-36\sqrt{2}