Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 20pod pierwiastkiem 2 i jest nachylona do podstawy pod kątem 45stopni. Oblicz długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.

Oznaczmy wierzchołki tego graniastosłupa: dolna podstawa kolejno A,B,C,D,E,F i górna podstawa odpowiednio A',B',C',D',E',F', przy czym odcinki AA',BA" itd są krawędziami bocznymi graniastosłupa. Dodatkowo oznaczmy przez S punkt przecięcia dłuższych przekątnych dolnej podstawy. Niech dłuższa przekątna graniastosłupa FC' ma długość 20√2. Ponieważ jest nachylona do podstawy pod kątem 45°, więc FCC'F' jest kwadratem o przekątnej długości 20√2. Stąd bok tego kwadratu wynosi 20 (przekątna kwadratu o boku a ma na mocy twierdzenia Pitagorasa długość a√2). Zatem wysokość graniastosłupa DD'=20 i dłuższa przekątna sześciokąta w podstawie FC=20. Łatwo zauważyć, że dłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest dwa razy dłuższa od jego boku (bo prowadząc w takim sześciokącie wszystkie trzy dłuższe przekątne, otrzymujemy podział sześciokąta na sześć trójkątów równobocznych). Zatem krawędź podstawy FE=10. Zauważmy, że krótsza przekątna podstawy ma długość równą sumie dwóch wysokości trójkątów równobocznych, na które podzielony jest sześciokąt przez dłuższe swoje przekątne. Ponieważ bok takiego trójkąta FE=10, więc jego wysokość wynosi (10√3)/2 (z twierdzenia Pitagorasa). Zatem długość krótszej przekątnej podstawy wynosi FD=10√3. Mamy więc trójkąt prostokątny FDD' o przyprostokątnych FD=10√3 i DD'=20. Jego przeciwprostokątną jest krótsza przekątna FD' graniastosłupa. Z twierdzenia Pitagorasa mamy FD'=√((10√3)²+20²)=√700=10√7