Funkcja kwadratowa Zadanie 1 Dana jesr funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej f(x)= -2(x-3)(x+2), x € R a)Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej oraz ogólnej. b)Naszkicuj wykres funkcji f c)Określ zbiór wartości funkcji f, przedziały monotniczności oraz zbiór tych argumentów dla których funkcja f osiąga wartości niedodatnie. Zadanie 2 Dana jest funkcja kwadratowa f(x)= 1/4x^2 + x-8, x€ R. a) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. b) Rozwiąż nierówność f(x)> -8. c) Wyznacz największą oraz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale Zadanie 3 Napisz wzór funkcji kwadratowej, jeśli wiadomo, że do jej wykresu należy punkt A i dla argumentu 2 funkcja osiąga swą największą wartośc równą 4. Zadanie 4 Liczbę osób zwiedzających wystawę n-tego dnia od momentu jej otwarcia opisuje wzór: W(n)= -4n^2 + 48n - 24, gdzie n € {1,2,......,11}. Odpowiedz na pytania: a)W którym dniu wystawę odwiedziło najwięcej osób? b)Ile sób odwiedziło wystawę podczas jej trwania? Zadanie 5 Dana jest funkcja f(x)= 1/2x^2 +bx-3, x € R. a)Wyznacz b tak, aby najmniejsza wartość funkcji wynosiła (-4) b)Wyznacz b tak, aby największy zbiór, w którym funkcja jest malejąca był równy przedziuałowi (-∞;6> Wyznacz b tak, aby wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji należał do prostej w równaniu y=2x Elementy geometrii analitycznej Zadanie 1 Odcinek o końcach A(-4,-2) oraz B(2,10) podzielono na cztery odcinki równej długości. Oblicz współrzędne punktów podziału. Zadanie 2 Dana jest prosta k: 3x-4y+7=0 oraz punkt A(-4,1). a)Napisz równanie ogólne prostej l, przechodzącej przez punkt A - równoległej do prostej k - prostopadłej do prostej k b)Oblicz odległość punktu A od prostej k Zadanie 3 W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj okąg na danym równaniu: (x+3)^2 +y^2 = 16 Zadanie 4 Wyznacz współrzędne środka i długość promienia okręgu o równaniu x^2+y^2-2x+4y=4. Zadanie 5 Oblicz współrzędne punktów wspólnych prostej k: y=1/2x i okręgu o równaniu x^2+y^2-6x=0 Zadanie 6 Nie wykonując rysunku, określ: a)wzajemne położenie okręgów o równaniach: x^2+y^2-4x+2y+4 =0 oraz x^2+y^2-8y=0. b)wzajemne położenie prostej k: y=2x-3 względem okręgu o równaniu x^2+ y^2=4. Wielomiany Zadanie 1 Dane są wielomiany: W(x) 2x^2-3x+1 oraz P(x)= 4x^2-x+5. Wykonaj działania: a)W(x) -2P(x) b)W(x) +[P(x)]^2 Zadanie 2 a)Rozłóż wielomian W(x)= -2x^3+8x-x^2+4 na czynniki liniowe b)Wymeń pierwiastki tego wielomianu Zadanie 3 Dany jest wielomian W(x) =3x^3-2x^2+kx. a)wznacz k tak, aby pierwiastkiem tego wielomianu była liczba 1. b)dla wyznaczonej wartości k wyznacz pozostałe miejsca zerowe tego wielomianu. Zadanie 4 Dane wielomiany: W(x)=(ax^2+bx+3)(x+1) oraz H(x)=3x^3+7x^2+7x+3. Wyznacz a oraz b tak, aby wielomiany W(x) oraz H(x) były równe. Funkcje wymierne Zadanie 1 a)Wyznacz tewartości x, dla których podane ułamki algebraiczne mają sens liczbowy: x+2/x-3, x^2+1/x^2+2x+1, x/ x^3-4x^2+2x-8 b)Podaj przykład funkcji wymiernej, której dziedziną jest zbiór R-{2,3,7} Zadanie 2 a)Skróć ułamki algebraiczne : 2x^4-4x^2/8x^2 oraz (2x-1)(x+4)/4x^2-1 podaj koniecznie założenia. b) Wykonaj dodawanie oraz odejmowanie ułamków algebraicznych : x/x-2 + 2x+3/x+4 oraz x-5/2x+3 - 3/4x^2-9 podaj koniecznie założenia c)Wykonaj mnożenie oraz dzielenie wyrażeń wymiernych: x^2-4/2x^2-x * 2x-1/5x+10 oraz x^2+4x+4/x^2-16 : x+2/2x-8 podaj koniecznie założenia Zadanie 3 Dana jest funkcja o wzorze f(x)= 2/x, gdzie x € R-{0}. a)Narysuj wykres funkcji f i na jego postawie omów własności funkcji. b)Rozwiąż nierówność 2/x ≤ 3 Zadanie 4 Rozwiąż równanie 2x-3 / x+5 = x-5 / x+2 Zadanie 5 Promień dużego koła bicyklu ma długość 54cm, a promień małego kółka - 20cm. Oblicz, ile obrotów wykonało małe kółko, jesli w tym samym czase duże koło obróciło się 50 razy. Jaką odległość pokonał wtedy bicykl? Ciągi Zadanie 1 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an= 4- 2/n. a)Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu. b)Narysuj wykres tego ciągu c)Czy ciąg jest ciągiem rosnącym? Odpowiedź uzasadnij. d)Zbadaj, czy istnieje taki wyraz ciągu, który jest równy 15/4. Zadanie 2 Maszynistka miała do przepisania książkę, liczącą 586 stron. Przez pierwsze trzy dni przepisywała po 14 stron dziennie. Aby jednak przyspieszyć przepisanie całości, postanowiła, że czwartego dnia przepisze o dwie strony więcej niż trzeciego i każdego następnego o dwie strony więcej niż poprzedniego. W ciągu ilu dni przepisała całą książkę? Zadanie 3 Piłka odbijając sięod ziemi, osiągnęła zakażdym razem wysokość wynoszącą 2/3 poprzedniej. Jak wysoko wzniosła się piłka po pierwszym uderzeniu, jeśli po szóstym odbila się na wysokość 32 cm?