Wykaż, że jeżeli przy dzieleniu przez 3 jedna z liczb daje resztę 1, a druga resztę 2, to ich iloczyn przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Proszę o wyjaśnienia. Daję celujący. Jest to już ostatnie zadanie jakie dodaję z Twierdzeń arytmetycznych :)

3 daje resztę 2, to ich iloczyn przy dzieleniu przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. a - pierwsza liczba b - druga liczba

oznaczmy przez a-pierwszą liczbę naturalną b-drugą liczbę naturalną Na podstawie warunków wynikających z zadania zapisujemy: a=3*x+1 x pełny wynik przy dzieleniu przez 3 i reszta 1 b=3*y+2 y pełny wynik przy dzieleniu przez 3 i reszta 1 np: 20:6=3 r 2 bo 20=3*6+2 Dowód: (3*x+1)*(3*y+2) 9xy+6x+3y+2 (9xy+6x+3y)+2 --------------- = ------------- =--------------= 3 3 3 (9xy+6x+3y)+2 3(3xy+2x+1y)+2 = ---------------= ---------------- = rozpisujemy na dwa 3 3 ułamki o mianowniku 3 3(3xy+2x+1y) 2 = ------------ +---- licznik pierwszego ułamka jest podzielny 3 3 przez 3,więc reszta wynosi 2