dany jest trapez równoramienny o podstawach 4 cm i 6 cm oraz ramieniu długości 3 cm.Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego trapeza wokół a)prostej zawierającej dłuższą podstawę, b)prostej zawierającą krótszą podstawę, c)jego osi symetrii

a) Kiedy narysujesz sobie szkic tej figury, zobaczysz, że składa się ona z dwóch stożków: na górze i dole oraz jednego walca. Obliczmy objętość stożka. Widać jednak, że do wzoru objętości: V=1\over3π*r^2*h, potrzebujemy r, które jest wysokością trapezu. Narysujmy dwie wysokości, które dzielą trapez na trzy odcinki: 1,4,1. Z Pitagorasa obliczamy: h^2+1^2=3^2 h=2\sqrt{2}, a h=r.Podstawiamy do wzoru: V=1\over3*π*8*1=8\over3π.Mamy dwa stożki więc ich objętość jest równa 16\over3π. Teraz obliczmy objetość walca: Mamy wysokość h=4, r=2\sqrt{2}. Podstawiamy: V=π*8*4=32π Objętość całej bryły jest równa: V=32π+16\over3π=371\over3π Mam nadzieję, że wszystko się zgadza :)

b) Widzimy, że jest to w środku walec, a na dole i górze po dwa kawałki jakby stożka, ale jest to figura pozostała po odjęciu jednego stożka w środku.Najłatwiej ten przykład zrobić, obliczając objetość walca, który miałby h=6, a r=2\sqrt{2}, a potem odjąć dwa stożki.Objętość wynosi: V=π*8*6=48π Objętość stożka wynosi tyle samo, co w tamtym zadaniu, bo r=2\sqrt{2} a h=1. Objętość dwóch stożków: V=16\over3π. Objętość tej figury to: V=48π-16\over3π=422\over3π

c) Trzecia figura to duży stożek, od którego odjęliśmy mały(jego podstawa to górna podstawa trapezu,r=2, h nie znamy). Aby znaleźć wysokość tego małego stożka, zastosujemy Talesa: 3\over h+2\sqrt{2}=2\over h, czyli promień mniejszego stożka (połowa górnej podstawy)na wysokość równe jest promieniowi dużego stożka (promień to połowa dolnej podstawy) na wysokość równą h+2\sqrt{2}. Wyszło h=4\sqrt{2}. Teraz możemy obliczyć objetość dużego stożka: V=1\over3*π*3^2*6\sqrt{2}=18\sqrt{2}π. Objętość małego stożka wynosi: V=1\over3*π*2^2*4\sqrt{2}=16\over3\sqrt{2}π Objętość figury wynosi: V=18\sqrt{2}π-16\over3\sqrt{2}π=122\over3\sqrt{2}π