1. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta ABC A(-6,4), B(-1,-1), C(2,2) odp: S(-2,3) 2. Wyznacz współrzędne punktu B symetrycznego do punktu A względem prostej L. A(2,3) L: x + 3y - 1 = 0 odp: B(0,-3)

zad 1. Symetralna przechodzi przez środek boku i jest prostopadła do niego. wyznaczamy wzór prostej AB (y=ax+b), podstawiając w miejsce (x,y) współrzędne punktu A, następnie punktu B i rozwiązując układ równań: 4=-6a+b -1=-a+b po wyliczeniach otrzymujemy a=-1 b=-2 więc prosta AB ma równanie y=-x-2 wyznaczamy środek odcinka AB ze wzoru ((x1+x2)/2; (y1+y2)/2) więc tutaj: ((-6-1)/2; (4-1)/2)=(-7/2; 3/2) symetralna jest prostopadła to prostej AB (gdzie a1=-1) więc jej współczynnik kierunkowy spełnia równanie a1*a2=-1, czyli -1*a2=-1. stąd mamy ża a2=1. symetralna przechodzi przez środek czyli punkt (-7/2; 3/2). więc żeby wyznaczyć jej wzór (y=a2x+b) podstawiamy za a2=1, x=-7/2, y=3/2. i wyliczamy b: 3/2=1*(-7/2)+b czyli b=10/2=5. równanie symetralnej boku AB to: y=1x+5. podobnie postępujemy z bokiem BC. wyznaczamy wzór prostej BC (y=ax+b), podstawiając w miejsce (x,y) współrzędne punktu B, następnie punktu C i rozwiązując układ równań: -1=-a+b 2=2a+b po wyliczeniach otrzymujemy a=1 b=0 więc prosta BC ma równanie y=x wyznaczamy środek odcinka BC ze wzoru ((x1+x2)/2; (y1+y2)/2) więc tutaj: ((-1+2)/2; (-1+2)/2)=(1/2; 1/2) symetralna jest prostopadła to prostej BC (gdzie a1=1) więc jej współczynnik kierunkowy spełnia równanie a1*a2=-1, czyli 1*a2=-1. stąd mamy ża a2=-1. symetralna przechodzi przez środek czyli punkt (1/2; 1/2). więc żeby wyznaczyć jej wzór (y=a2x+b) podstawiamy za a2=-1, x=1/2, y=1/2. i wyliczamy b: 1/2=-1*(1/2)+b czyli b=2/2=1. równanie symetralnej boku BC to: y=-1x+1. żeby wyznaczyć punkt przecięcia się symetralnych trzeba rozwiązać uklad równań: y=1x+5 y=-1x+1 Przyrównujemy do siebie igreki: 1x+5=-1x+1 1x+1x=1-5 2x=-4 /:2 x=-2 podstawiając do jednego z równań wyliczamy y: y=1*(-2)+5=-2+5=3 więc punkt przecięcia się symetralnych to (-2,3)

zad 2. liczymy odległość punktu A od prostej L ze wzoru: d=(|Ax+By+C|): (pierwiastek z (A^2+B^2)) gdzie (x,y) współrzędne punktu A A, B, C współczynniki prostej L czyli u nas (x,y)=(2,3) A=1, B=3, C=-1 podstawiamy do wzoru: d= |1*2+3*3-1|:pierwiastek z (1+9) d=|10| : pierwiastek z 10 po usunięciu niewymierności z mianownika czyli domnażając przez pierwiastek z 10 w liczniku i mianowniku otrzymujemy że d=pierwiastek z 10. Punkt symetryczny do A leży po drugiej stronie tej prostej w odległości pierwiastek z 10 od niej. Należy wyznaczyć prosta prostopadłą, skoro jest to symetria osiowa. Szukana prosta y=a2x+b jest prostopadła do prostej x+3y-1=0 i przechodzi przez punkt A(2,3). x+3y-1=0 przekształcamy by wyliczyć a1. 3y=-x+1 /:3 y=-1/3x+1/3 czyli a1=-1/3 proste prostopadłe spełniają warunek a1*a2=-1 -1/3*a2=-1 a2=3 a2=3 i (x,y)=(2,3) podstawiamy do wzoru y=a2x+b żeby wyliczyć b: 3=3*2+b b=-3 więc równanie proste prostopadłej do L to y=3x-3 nasz szukany punkt symetryczny ma współrzędne (c,d). neleży on do prostej y=3x-3 i znajduje się w odleglości pierwiastek z 10 od prostej L. szukane (c,d) wstawiamy do równania y=3x-3 żeby uzyskać zależność między c i d. d=3c-3. następnie podstawiamy to do wzoru na odległość punktu od prostej. i podobnie jak wyżej d=(|Ax+By+C|): (pierwiastek z (A^2+B^2)) gdzie (x,y) współrzędne punktu A A, B, C współczynniki prostej L czyli u nas (x,y)=(c,3c-3) A=1, B=3, C=-1 d=(|1*c+3*(3c-3)-1|): (pierwiastek z (1+9) d=(|c+9c-9-1|): pierwiastek z 10 d=(|10c-10|) : pierwiastek z 10 ponadto wiemy że d=pierwiastek z 10. podstawiamy do naszego równania pierwiastek z 10=(|10c-10|) : pierwiastek z 10 /*pierwiastek z 10 10=|10c-10| opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy dwa przypadki: 10=10c-10 i -10=10c-10 10+10=10c i -10+10=10c 20=10c i 0=10c 2=c i 0=c obliczamy d ze wzoru: d=3c-3 gdy c=2 to d=3*2-3=6-3=3 gdy c=0 to d=3*0-3=-3 otrzymujemy dwa punkty (2,3) i (0,-3). pierwszy z nich to nasz punkt wyjściowy, więc symetryczny do niego ma współtrzędne (0,-3)