BADAANIE TRÓJMIANU KWADRATOWEGO -ZADANIA OPTYMALIZACYJNE. zad.1 funkcja f(x)=-x(do kwadratu)+6x+21 /2 opisuje wydajnosc pracy robotnika w zaleznosci od czasu pracy x, w ciagu 8-godzinnego dnia pracy. robotnik rozpoczyna prace o godzinie 7:00. o ktorej godzinie jego wydajnosc jest najwieksza? zad 2. pewne ciało w czasie t[s]przebylo droge S[m], ktora opisuje wzor S[t]=t(do kwadratu) +5t+8, fdzie t e, oblicz: a) długosc drogi przebytej przez to ciało w ciagu czterech sekund b)srednia predkosc ciala zad.3 liczbe 100 przedstaw w postaci sumy dwoc liczb , ktorych suma kwadratow jest najmniejsza z mozliwich. zad.4 liczbe 30przedstaw w postaci roznicy dwoch liczb tak, aby suma ich kwadratow była najmniejsza. zad.5 krotszy bok prostokata o wymiarach 5cm x 8cm zwiekszamy o x cm, a dluzszy bok zmniejszamy o x cm. a) wyznacz wzor funkcji opisujacej pole nowego prostokata w zaleznosci od dlugosci x;podaj dziedzine tej funkcji b) dla jakiej dlugosci x pole otrzymanego prostokata jest najwieksze? oblicz to pole. Prosze o pomoc!

zad 5: Nowy prostokąt ma zatem wymiary: 5 + x na 8 - x Pole tego prostokąta dane jest za pomocą funkcji zmiennej x o wzorze: f(x) = (5 + x)(8 - x) = 40 - 5x + 8x - x^2 = -x^2 + 3x + 40 Ponieważ mamy do czynienia z długościami, to: x > 0 oraz 5 + x > 0 oraz 8 - x > 0 x > 0 oraz x > -5 oraz x < 8 Dziedziną tej funkcji jest zbiór (0, 8). f(x) = -x^2 + 3x + 40 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1,5 + 1,5^2 - 2,25) + 40 = -(x - 1,5)^2 + 42,25 Pole otrzymanego prostokąta jest największe dla x = 1,5. Zatem prostokąt jest wówczas kwadratem o boku 6,5 cm i ma pole równe P = 42,25 cm^2

zad 4: x - y = 30 y = x - 30 Suma kwadratów tych liczb jest funkcją zmiennej x postaci: f(x) = x^2 + (x - 30)^2 = 2x^2 - 60x + 900 f(x) = 2(x^2 - 30x + 450) = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 15 + 15^2 - 225 + 450) = 2(x - 15)^2 + 450 Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla x = 15. Zatem aby warunki zadania były spełnione liczbę 30 przedstawiamy jako różnicę liczb 15 i -15.

zad 3: x + y = 100 y = 100 - x Suma kwadratów tych liczb jest funkcją zmiennej x postaci: f(x) = x^2 + (100 - x)^2 = 2x^2 - 200x + 10000 f(x) = 2(x^2 - 100x + 5000) = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 50 + 50^2 - 2500 + 5000) = 2(x - 50)^2 + 5000 Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla x = 50. Zatem aby warunki zadania były spełnione liczbę 100 przedstawiamy jako sumę liczb 50 i 50.