Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.

1. Dane które wykorzystamy: Va - średnia prędkość pojazdu ruszającego z miasta A Vb - średnia prędkość pojazdu ruszającego z miasta B Ta – czas od chwili wyruszenia samochodu z miasta A do momentu spotkania obu pojazdów Tb – czas od chwili wyruszenia samochodu z miasta B do momentu spotkania obu pojazdów Sa – droga przebyta przez pojazd ruszający z miasta A Sb – droga przebyta przez pojazd ruszający z miasta B 2. Zrozumienie treści Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Sa + Sb =474 Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A. Ta = Tb -1 ( samochód A jechał o godzine krócej niż samochód B, zanim następił moment spotakania ) Lub Tb = Ta + 1 (samochód B jechał o godzine dłużej niż samochód A, zanim nastąpił moment spotkania) Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta B. Sb = 300 Sa = 474 – 300 = 174 Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Va = Vb – 17 (prędkość samochodu wyjężdzającego z miasta A byłaby równa prędkości samochodu wyjeżdzającego z miasta B gdyby pomniejszyć ją o 17 km/h) Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania. 3. Rozwiązanie zadania Do wyliczenia Va, Vb Z treści zadania wiemy, że (i) Va = Vb – 17 Skorzystamy ze wzoru na prędkość średnią, czyli V = S/T Możemy więc napisać, że Va = Sa/Ta oraz Vb =Sb/Tb Czyli podstawiając Va i Vb we wzorze (i) ich odpowiednikami, otrzymamy: (ii) Sa/Ta = Sb/Tb – 17 Z treści wiemy też, że samochód wyjeżdzający z miasta B jechał o godzine dłużej, czyli Tb = Ta + 1 Podstawiając to do równania (ii), otrzymujemy: Sa/Ta = Sb/(Ta+1) – 17 Podstaawiając dane z treści zadania, czyli: Sb = 300 Sa = 174 Otrzymujemy (iii) 174/Ta = 300/(Ta+1) – 17 Pozbywamy się ułmków przez mnożenie przez (Ta) całego równania: 174/Ta = 300/(Ta+1) – 17*Ta | *Ta Pozbywamy się ułmków przez mnożenie przez (Ta+1) całego równania: 174 = 300*Ta/(Ta+1) -17*Ta | * (Ta+1) 174*(Ta+1) = 300*Ta – 17*Ta*(Ta+1) Pozbywamy się nawiasów 174*Ta + 174 = 300*Ta – 17*Ta*Ta – 17*Ta Przerzucamy prawą stronę na drugą i grupujemy wyrażenia 17*Ta*Ta + 174*Ta – 300*Ta + 17*Ta +174 = 0 Dodajemy i odejmujemy liczby z tymi samymi niewiadomymi (iv) 17*Ta*Ta – 109*Ta +174 = 0 Gdzie Ta*Ta to kwadrat z Ta Czyli mamy równanie kwadratowe do wyliczenia: Wyliczamy deltę: Delta = b*b – 4*a*c = 109*109 – 4*17*174 = 11881 – 11832 = 49 Wyliczamy pierwiastki: Ta1 =( - b-sqr(delta))/2*a = (109-7)/(2*17) = 102/34 Ta2 =( - b+sqr(delta))/2*a = (109+7)/(2*17 )= 116/34 Co znaczy że mamy dwa równoważne rozwiązania tego zadania Wyliczmy więc Va Va1 = 174/Ta1 = 174/(102/34) = 58 km/h Va2 = 174/Ta2 = 174/(116/34) = 51 km/h Wyliczmy więc Vb Wiemy że Tb = Ta +1 Więc Tb1 = Ta1 +1 = 102/34 +1 = 136/34 Oraz Tb2 = Tb2+1 = 116/34 +1 = 150/34 Czyli odpowiednia prędkość średnia wynosi Vb1 = 300/(Tb1) = 300/(136/34) = 75 Vb2 = 300/(Tb2) = 300/(150/34) = 68 Rozwiązaniem są więc dwie pary prędkości: Va1 = 58 km/h, Vb1 = 75 km/h Oraz Va2 = 51 km/h, Vb2 = 68 km/h